¿QUÉ SON LOS POLÍGONOS?

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

POR LA IGUAL O DESIGUALDAD DE SUS LADOS

Polígonos regulares: Cuando todos los lados son de igual extensión,

Polígonos irregulares: Cuando por lo menos algunos de los lados es de extensión distinta.

POR LA CANTIDAD DE LADOS.

Nombre	Lados	Ángulo interior

Triángulo (o trígono)	3	60°
Cuadrilátero (o tetrágono)	4	90°
Pentágono	5	108°
Hexágono	6	120°
Heptágono (o Septágono)	7	128.571°
Octágono	8	135°
Nonágono (or eneágono)	9	140°
Decágono	10	144°
Endecágono (or undecágono)	11	147.273°
Dodecágono	12	150°
Tridecágono	13	152.308°
Tetradecágono	14	154.286°
Pentadecágono	15	156°
Hexadecágono	16	157.5°
Heptadecágono	17	158.824°
Octadecágono	18	160°
Eneadecágono	19	161.053°
Icoságono	20	162°
Triacontágono	30	168°
Tetracontágono	40	171°
Pentacontágono	50	172.8°
Hexacontágono	60	174°
Heptacontágono	70	174.857°
Octacontágono	80	175.5°
Eneacontágono	90	176°
Hectágono	100	176.4°
Chiliágono	1,000	179.64°
Miriágono	10,000	179.964°
Megágono	1,000,000	~180°
Googológono	10¹⁰⁰	~180°
n-ágono	n	(n-2) × 180° / n

POR LA EXTENSIÓN DE UNA O MAS LINEAS QUE LOS DIVIDIDA EN MITADES IGUALES

Polígonos simétricos: los que tienen uno o dos ejes de simetría.

Polígonos asimétricos: los que no tienen ningún eje de simetría.

SEGÚN SUS ÁNGULOS

Convexos: todos sus ángulos son menores de 180°, todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos: si un angulo mide mas de 180°, si una de sus diagonales es exterior

TEOREMAS DE LOS ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS

✿ Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:
• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.
Suma de ángulos interiores = 180(n-2)
Suma de ángulos interiores = 180(5-2)
Suma de ángulos interiores = 180(3)
Suma de ángulos interiores = 540°.

✿ Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.
Ángulo interior = 180(n-2)
n

EJEMPLO:
• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°
n 15 15 15

✿ Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°
n

EJEMPLO:
• Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120°
n 3

✿ Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n-3)
2

EJEMPLO:
• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

EJERCICIOS

http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_1e.html

http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_33e.html

LUGARES GEOMÉTRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

LUGARES GEOMÉTRICOS

Lugar geométrico (L.G) es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen con una condición dada. Es decir, todo L.G. presenta las siguientes características:

1. es un conjunto de puntos.

2. todos los puntos cumplen con una misma propiedad que lo caracteriza.

El L.G. puede ser una linea curva, una recta, un plano, una superficie curva, etc. y a veces el mismo conjunto de puntos puede satisfacer más de una propiedad.

Iniciemos determinando los puntos de un plano que están a una distancia dada "a" de un punto P del mismo plano.

Vemos que los puntos que cumplen con esta condición son los que forman parte de la circunferencia de centro P y radio a.

Luego, la circunferencia es el L.G. de todos los puntos del plano que están a una distancia dada de un punto dado.

Lugares geométricos más comunes

ü La circunferencia de centro P y radio r, es el L.G. de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto P.

ü La circunferencia de centro P y radio r, es el L.G. de todos los centros de circunferencias de radio r que pasan por el punto dado P.

ü La perpendicular levantada en el punto medio del segmento AB es el L.G. de todos los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

ü La perpendicular levantada en el punto medio del segmento AB es el L.G. de todos los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B.

ü Las paralelas a la distancia d de una recta dada L representan el L.G. de todos los puntos del plano que se encuentran a la distancia d de la recta L.

ü Las paralelas a la distancia d de una recta dada L representan el L.G. de los centros de todas las circunferencias de radio d tangentes a la recta dada L.

ü La paralela media a dos rectas paralelas dadas y representa el L.G. de todos los puntos del plano equidistantes de las rectas y

ü La paralela media a dos rectas paralelas dadas y representa el L.G. de los centro de todas las circunferencias tangentes a las paralelas dadas y

ü La bisectriz de un ángulo dado es el L.G. de todos los puntos del plano que se encuentran equidistantes de los lados del ángulo.

ü La bisectriz de un ángulo dado es el L.G. de los centros de todas las circunferencias tangentes a los lados del ángulos.

ü Las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas dadas y al intersectarse, representan el L.G. de todos los puntos del plano equidistantes de las rectas y

ü Las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas dadas y al intersectarse, representan el L.G. de todos los centros de las circunferencias tangentes a las rectas y .

ü Dadas dos circunferencias concéntricas, la circunferencia concéntrica con las anteriores y de radio igual a la semisuma de los radios dados es el L.G. de todos los puntos del plano equidistantes de las circunferencias dadas.

ü Dadas dos circunferencias concéntricas, la circunferencia concéntrica con las anteriores y de radio igual a la semisuma de los radios dados es el L.G. de los centros de todas las circunferencias tangentes a las circunferencias dadas.

ü El arco capaz de a construído sobre la cuerda BC, es el L.G. de todos los terceros vértices de los triángulos que tienen el lado BC común y el ángulo opuesto igual a a .

ü La circunferencia que tiene por diámetro el segmento AB es el L.G. de los vértices correspondientes al ángulo recto de todos los triángulos rectángulos de hipotenusa AB.

Ejemplos de determinación de un L.G.

Para resolver un problema sobre L.G. debemos considerar cuatro pasos fundamentales:

ANÁLISIS CONSTRUCCIÓN CONCLUSIÓN DISCUSIÓN

Ejemplo 1: Encontrar el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de los lados de un ángulo y que equidistan de dos puntos dados A y B.

ANALISIS: Tenemos como datos el ángulo cualquiera PQR y los puntos cualesquiera A y B. Se pide que los puntos que equidistan del plano que equidistan de QR, QP, y de A y B a la vez.

CONSTRUCCIÓN: Se dibuja el ángulo PQR y los puntos A y B cualesquiera. Se traza la bisectriz del ángulo PQR y la simetral de AB.

CONCLUSIÓN: La bisectriz QT equidista de QR y QP. La simetral CT equidista de A y B. El punto del plano que cumple con las condiciones pedidas es T.

DISCUSIÓN: Aquí se debe discutir sobre el números de puntos o soluciones posibles del problema dado. En este ejemplo existe una solución si la intersección entre CT y QT es vacía, hay infinitas soluciones si CT y QT coinciden y finalmente no tendría soluciones si CT // QT.

Ejemplo 2: Encontrar los puntos que se hallan a la distancia d de un punto y que equidistan de dos rectas paralelas y .

ANÁLISIS: Dos situaciones se contemplan: Para que el punto buscado se halle a la distancia d del punto P, debe hallarse en la circunferencia de centro P y radio D. Para que el punto buscado equidiste de las rectas paralelas y debe hallarse en la paralela media.

CONSTRUCCIÓN: Se dibuja una circunferencia con centro P y dos rectas paralelas. Se traza la paralela media y

CONCLUSIÓN: La paralela media equidista de y . Los puntos pertenecen a la paralela media y a la circunferencia, por lo tanto también se halla a la distancia d de P.

ÁNGULOS DENTRO Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL: tiene su vértice en el centro de la circunferencia, todo angulo central mide los mismo que el arco que lo subtiende.

ÁNGULO INSCRITO: su vértice se ubica en la circunferencia y sus lados son dos secantes, la medida del ángulo inscrito equivale a la medida del arco que abarca.

ÁNGULO SEMIINSCRITO: su vértice se encuentra en a circunferencia y sus lados son una secante y una tangente. La medida del ángulo semi.inscrito equivale a la mitad del arco que abarca.

ÁNGULO INTERIOR: su vértice se encuentra en el interior de la circunferencia y sus lados son secantes a ella, La medida del ángulo interior equivale a la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarca sus lados y prolongaciones de sus lados.

ÁNGULO EXTERIOR; es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella o uno tangente y ptrp secante, o tangentes a ella.

EJERCICIOS

Dos cuadrantes consecutivos forman un ángulo central de...

90°.

180°.

45°.

http://www.vitutor.com/geo/eso/ac_4e.html

TEOREMA DE THALES

Dos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d) los segmentos que se han creado en una de las rectas son proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.

Nota. En algunas medidas de los próximos problemas los decimales de algunas medidas están redondeadas.